第１回　数列（１）　等差数列の和について

１～１００までを足すといくつでしょうか？

　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿１０１＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
｜　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　｜
１　＋　２　＋　３　＋　・・・・・・・・　＋　９９　＋　１００
　　　　｜____________１０１____________｜

このように、足すと１０１になるペアが５０個できますので

１０１　×　５０　＝　５０５０　　となります。

これは連続する自然数の場合ですが、一般に 等差数列の和 は同様にして求められます。
例えば、１～１００までの偶数の和

２　＋　４　＋　６　＋　・・・・・・・・　＋　９８　＋　１００

１から１００までに、偶数は５０個あります。ペア数はその半分ですので
（１００＋２）　×　５０　÷　２　＝　２５５０　　です。

一般に、等差数列の和は
　（ 最初 ＋ 最後 ） ×　項数　÷　２
で求められます。

ちなみにこれは、台形の面積
　（ 上底 ＋ 下底 ） ×　高さ　÷　２
と同じ形をしています。

ここからわかることは、
等差数列の和を求めるには公差や一般項を求める必要はないということです。
必要なものは「最初」「最後」「項数」の３つであることを覚えておきましょう。

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（例題１）
１～３００までの３の倍数の和はいくつか？

最初　＝　３　（３×１）
最後　＝　３００　（３×１００）
項数　＝　１００　（１～１００まで）

求める和　＝ （３＋３００） ×　１００　÷　２
　　　　　＝　１５１５０

（例題２）
２００～４００までの３の倍数の和はいくつか？
最初　＝　２０１　（３×６７）
最後　＝　３９９　（３×１３３）

さて「項数」です。どのような数え方がよいでしょうか。
もし３～３９９ならば、（例題１）のように１３３項となるわけです。
しかし、スタートが ３×６７ ということは、３×６６ までが失われている。
つまり、１３３ー６６＝６７項です。

求める和　＝ （２０１＋３９９） ×　６７　÷　２　＝　２０１００

今回はここまでです。

〔担当執筆講師：FUJII〕

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